Нужно ли в трудовую книжку (сведения о трудовой деятельности) внести запись об аннулировании трудового договора?

Нужно ли в трудовую книжку (сведения о трудовой деятельности) внести запись об аннулировании трудового договора?

Нет, не нужно.
Если трудовая книжка ведется, не вносите в нее ни запись о приеме на работу (так как работник не отработал у вас пять дней), ни запись об аннулировании трудового договора (ч. 4 ст. 66 ТК РФ, п. 2 Порядка ведения и хранения трудовых книжек).
Если до аннулирования договора вы все-таки внесли в трудовую книжку запись о приеме на работу, рекомендуем признать ее недействительной с учетом п. 12 Порядка ведения и хранения трудовых книжек.
Полагаем, что если трудовой договор аннулирован, то в сведения о трудовой деятельности также не требуется вносить информацию ни о приеме на работу, ни об аннулировании договора (ч. 4 ст. 61, ч. 1, 2 ст. 66.1 ТК РФ, п. 2.1 ст. 6, п. 1, пп. 4 п. 2, пп. 2 п. 5 ст. 11 Закона о персонифицированном учете, ч. 2 ст. 2 Федерального закона от 16.12.2019 N 439-ФЗ).
Если до аннулирования договора вы внесли информацию о приеме на работу в сведения о трудовой деятельности, ее следует исправить (отменить).